弹塑性力学|张量分析初步

前情提要

在前一篇尚未发布的笔记“弹塑性力学｜绪论及基础概念”中梳理完弹塑性力学的研究内容和基本概念后，这里先对主要数学工具——张量——作简要介绍与分析。

张量的介绍

张量的下标含义

我们使用1，2，3分别代表坐标轴 $x,y,z$ ，并使用特定的字母（如 $i$ ）代表分别取1，2，3全体，称为下标。那么，带一个下标的字母表示一阶张量（即矢量），带两个下标的字母就表示二阶张量；所以，带 $n$ 个下标的字母就表示 $n$ 阶张量。

对于三维空间中的任一坐标 $(x,y,z)$ ，我们可以进行如下简记：

$$(x,y,z)\to x_i(i=1,2,3)$$

此时，$x_1$ 表示原坐标的 $x$ ，$x_2$ 表示原坐标的 $y$ ，$x_3$ 表示原坐标的 $z$ 。

则我们可以将二阶应力张量与二阶应变张量也进行简记：

$$\left(\begin{array}{ccc}{\sigma }_x& {\tau }_{xy}& {\tau }_{xz}\\ {\tau }_{yz}& {\sigma }_y& {\tau }_{yz}\\ {\tau }_{zx}& {\tau }_{zy}& {\sigma }_z\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}{\sigma }_{11}& {\sigma }_{12}& {\sigma }_{13}\\ {\sigma }_{21}& {\sigma }_{22}& {\sigma }_{23}\\ {\sigma }_{31}& {\sigma }_{32}& {\sigma }_{33}\end{array}\right)\to {\sigma }_{ij}(i,j=1,2,3)$$ $$\left(\begin{array}{ccc}{\epsilon }_x& {\epsilon }_{xy}& {\epsilon }_{xz}\\ {\epsilon }_{yz}& {\epsilon }_y& {\epsilon }_{yz}\\ {\epsilon }_{zx}& {\epsilon }_{zy}& {\epsilon }_z\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}{\epsilon }_{11}& {\epsilon }_{12}& {\epsilon }_{13}\\ {\epsilon }_{21}& {\epsilon }_{22}& {\epsilon }_{23}\\ {\epsilon }_{31}& {\epsilon }_{32}& {\epsilon }_{33}\end{array}\right)\to {\epsilon }_{ij}(i,j=1,2,3)$$

求和约定

在同一项中，如果某个下标出现两次，那么在三维空间中就表示要对该指标从1到3进行求和（二维空间中即表示从1到2进行求和）。我们可以举几个例子来说明这个求和约定。

那么，我们可以举一些例子

1.张量与矢量点乘的关系 $A_i{B}_i=A_1{B}_1+A_2{B}_2+A_3{B}_3={\sum }_{i=1}^3{A}_i{B}_i=\mathbf{A}\cdot \mathbf{B}$

2.求和约定下的计算式 对于$C_{ij}{B}_i=C_{1j}{B}_1+C_{2j}{B}_2+C_{3j}{B}_3$，其中$j=1,2,3$。式中对 $i$进行求和，则可以等价为下面三个式子

$$\{\begin{array}{l}{C}_{i1}{B}_i=C_{11}{B}_1+C_{21}{B}_2+C_{31}{B}_3\\ C_{i2}{B}_i=C_{11}{B}_1+C_{21}{B}_2+C_{32}{B}_3\\ C_{i3}{B}_i=C_{11}{B}_1+C_{21}{B}_2+C_{33}{B}_3\end{array}$$

3.应力张量的展开：${\sigma }_{ii}={\sigma }_{11}+{\sigma }_{22}+{\sigma }_{33}$

4.应力平方的乘积：

$${\sigma }_{ij}{\sigma }_{ij}={\sigma }_{11}^2+{\sigma }_{12}^2+{\sigma }_{13}^2+{\sigma }_{21}^2+{\sigma }_{22}^2+{\sigma }_{23}^2+{\sigma }_{31}^2+{\sigma }_{32}^2+{\sigma }_{33}^2$$

克罗内克符号（Kronecker Delta）

${\delta }_{ij}$ 称为克罗内克符号，定义如下

$${\delta }_{ij}=\{\begin{array}{llc}0& \text{if}i\ne j& \\ 1& \text{if}i=j& \end{array}$$

${\delta }_{ij}$ 有两个下标，所以它是二阶张量，那么从矩阵角度看也就是单位矩阵，即：

$${\delta }_{ij}=\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right)$$

它可以使公式的表达与书写更加简单，例如在笛卡尔坐标系中，坐标轴的单位矢量点乘可以表示为

$${\mathbf{i}}_i\cdot {\mathbf{i}}_j={\delta }_{ij}$$

偏导数的下标记法

为了更方便标记偏导数，我们可以使用逗号记法来表示偏导。

$$f_{,i}=\frac{\partial f}{\partial x_i},f_{,ij}=\frac{{\partial }^{2}f}{\partial x_i\partial x_j}$$

则我们的应力分量可以表示为

$${\sigma }_{ij,k}=\frac{\partial {\sigma }_{ij}}{\partial x_k},{\sigma }_{ij,j}=\frac{\partial {\sigma }_{ij}}{\partial x_j}=\frac{\partial {\sigma }_{i_1}}{\partial x_1}+\frac{\partial {\sigma }_{i_2}}{\partial x_2}+\frac{\partial i_3}{\partial x_3}$$

这里的 $j$ 重复，所以我们对 $j=1,2,3$ 进行求和。

置换符号(Permutation 符号)

我们使用置换符号来简化表达式，${ϵ}_{ijk}$ 的定义如下。

$$\{\begin{array}{l}\begin{array}{rlrl}& 1& & \text{当 }i,j,k\text{ 为正循环排列(偶排列)}\\ & -1& & \text{当 }i,j,k\text{ 为逆循环排列(奇排列)}\\ & 0& & \text{当 }i,j,k\text{ 中有两个赋值相同时}\end{array}\end{array}$$

那么，我们可以举个例子说明三级行列式的置换符号表达。对于三级行列式，我们有

$$\left|\begin{array}{ccc}{a}_{11}& a_{12}& a_{13}\\ a_{21}& a_{22}& a_{23}\\ a_{31}& a_{32}& a_{33}\end{array}\right|$$ $$=a_{11}{a}_{22}{a}_{33}+a_{12}{a}_{23}{a}_{31}+a_{13}{a}_{21}{a}_{32}-a_{13}{a}_{22}{a}_{31}-a_{12}{a}_{21}{a}_{33}-a_{11}{a}_{23}{a}_{32}$$

那么，我们使用置换符号可以写为 ${ϵ}_{ijk}{a}_{1i}{a}_{2j}{a}_{3k}$ 或者 ${ϵ}_{ijk}{a}_{i1}{a}_{j2}{a}_{k3}$ ，其中 $i,j,k=1,2,3$ 。

张量的定义

从坐标变换看张量与矢量

如果对于直角坐标系 $Oxyz$ ，矢量 $\mathbf{r}$ 的三个分量为 $a_1,a_2,a_3$，则有 $\mathbf{r}=a_{1}i+a_{2}j+a_{3}k$。对于另一个直角坐标系 $O{x}^{\prime }{y}^{\prime }{z}^{\prime }$，矢量 $\mathbf{r}$ 可以被分解为 $a_1^{\prime },a_2^{\prime },a_3^{\prime }$，则有 $\mathbf{r}=a_1^{\prime }{i}^{\prime }+a_2^{\prime }{j}^{\prime }+a_3^{\prime }{k}^{\prime }$。由于矢量的客观性，我们有

$$a_{1}i+a_{2}j+a_{3}k=a_1^{\prime }{i}^{\prime }+a_2^{\prime }{j}^{\prime }+a_3^{\prime }{k}^{\prime }$$

左右两边同时点乘 $i^{\prime },j^{\prime },k^{\prime }$ ，则可以得到

$$\{\begin{array}{l}{a}_1^{\prime }=a_{1}i\cdot i^{\prime }+a_{2}j\cdot i^{\prime }+a_{3}k\cdot i^{\prime }=a_1{l}_{11}+a_2{l}_{12}+a_3{l}_{13}\\ a_2^{\prime }=a_{1}i\cdot j^{\prime }+a_{2}j\cdot j^{\prime }+a_{3}k\cdot j^{\prime }=a_1{l}_{21}+a_2{l}_{22}+a_3{l}_{23}\\ a_3^{\prime }=a_{1}i\cdot k^{\prime }+a_{2}j\cdot k^{\prime }+a_{3}k\cdot k^{\prime }=a_1{l}_{31}+a_2{l}_{32}+a_3{l}_{33}\end{array}$$

则可以使用矩阵表示为

$$\left(\begin{array}{c}{a}_1^{\prime }\\ a_2^{\prime }\\ a_3^{\prime }\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}{l}_{11}& l_{12}& l_{13}\\ l_{21}& l_{22}& l_{23}\\ l_{31}& l_{32}& l_{33}\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}{a}_1\\ a_2\\ a_3\end{array}\right)$$

使用张量可以记为

$$a_i^{\prime }=l_{ij}{a}_j$$

其中可以设 $l_{ij}$ 为坐标变换矩阵，或者称为坐标变换张量。

$$\left(\begin{array}{ccc}{l}_{11}& l_{12}& l_{13}\\ l_{21}& l_{22}& l_{23}\\ l_{31}& l_{32}& l_{33}\end{array}\right)$$

由线性代数，坐标变换的逆等于矩阵的转置

$$\begin{array}{c}{\left(\begin{array}{ccc}{l}_{11}& l_{12}& l_{13}\\ l_{21}& l_{22}& l_{23}\\ l_{31}& l_{32}& l_{33}\end{array}\right)}^{-1}={\left(\begin{array}{ccc}{l}_{11}& l_{12}& l_{13}\\ l_{21}& l_{22}& l_{23}\\ l_{31}& l_{32}& l_{33}\end{array}\right)}^T=\left(\begin{array}{ccc}{l}_{11}& l_{21}& l_{31}\\ l_{12}& l_{22}& l_{32}\\ l_{13}& l_{23}& l_{33}\end{array}\right)\end{array}$$

即$(l_{ij}{)}^{-1}=(l_{ij}{)}^T=l_{ij}$

张量的定义

张量元素的个数由空间维数 $N$ 与阶数 $n$ 决定，即等于 $N^n$ 。此时我们可以在三维直角坐标系中定义张量。

• 零阶张量的定义

零阶张量即为标量，它与坐标系无关，是坐标变换中的不变量。

• 一阶张量的定义

坐标系 $Oxyz$ 下的数组 $T_i(i=1,2,3)$ 在坐标变换为 $O{x}^{\prime }{y}^{\prime }{z}^{\prime }$ 后，数组由 $T_i(i=1,2,3)$ 变为 $T_i^{\prime }(i=1,2,3)$ ，如果变换前后满足以下关系

$$\left(\begin{array}{c}{T}_1^{\prime }\\ T_2^{\prime }\\ T_3^{\prime }\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}{l}_{11}& l_{12}& l_{13}\\ l_{21}& l_{22}& l_{23}\\ l_{31}& l_{32}& l_{33}\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}{T}_1\\ T_2\\ T_3\end{array}\right)$$

即 $T_i^{\prime }=l_{ij}{T}_j$ 成立，那么我们称数组 $T_i(i=1,2,3)$ 为一阶张量（矢量）。

• 二阶张量的定义

坐标系 $Oxyz$ 下的数组 $T_i(i=1,2,3)$ 在坐标变换为 $O{x}^{\prime }{y}^{\prime }{z}^{\prime }$ 后，数组由 $T_i(i=1,2,3)$ 变为 $T_i^{\prime }(i=1,2,3)$ ，如果变换前后满足$T_{ij}^{\prime }=l_{im}{l}_{jn}{T}_{mn}$ 或者 $T_{ij}=l_{mi}{l}_{nj}{T}_{mn}^{\prime }$ 则我们称数组 $T_{ij}(i=1,2,3)$ 为二阶张量，用矩阵表示这个条件为：

• $n$ 阶张量的定义

如果有数组 $T_{i_1{i}_2\dots i_n}(i_1,i_2\dots ,i_n=1,2,3)$ ，显然该数组的元素为 $3^n$ 个，如果在新的坐标系下，该数组变为$T_{i_1{i}_2\dots i_n}^{\prime }(i_1,i_2\dots ,i_n=1,2,3)$，如果变换前后满足如下关系：

$$T_{i_1{i}_2\dots i_n}^{\prime }=l_{i_1{j}_1}{l}_{i_2}{j}_2\dots l_{i_n{j}_n}{T}_{j_1{j}_2\dots j_n}$$

或者

$$T_{j_1{j}_2\dots j_n}=l_{j_1{i}_1}{l}_{j_2{i}_2}\dots l_{j_n{i}_n}{T}_{j_1{j}_2\dots j_n}^{\prime }$$

那么称$T_{i_1{i}_2\dots i_n}(i_1,i_2\dots i_n)$为$n$阶张量，也可以表示为$T_{i_n}$。

张量的代数运算

张量的相等

如果两个张量 $A$ 与 $B$ 在同一坐标下的各个分量均相同，则称这两个分量相等，记为 $A=B$.

张量的加法

如果两个张量 $A$ 与 $B$ 同阶，那它们在同一坐标系中的各个对应分量相加的操作称为 $A$ 与 $B$ 的和，记为 $A+B$ .

张量的数乘

设 $\lambda$ 为一个数（标量），$A$ 为任意阶张量，定义 $\lambda$ 与 $A$ 的乘积 $\lambda A$ 为一同阶的新张量 $B$ ，则 $B$ 的分量为 $\lambda$ 乘以 $A$ 的每一个分量。

张量的乘积

若 $A$ 为 $m$ 阶张量，而 $B$ 为 $n$ 阶张量，则 $AB$ 表示它们的乘积，定义为用前一个张量的每一个分量与后一个张量的每一个分量分别进行相乘，则可以得到 $3^m\cdot 3^n=3^{m+n}$ 个元素，它们构成一个 $m+n$ 阶张量。

张量的乘积主要具有以下性质

1. 张量的分配律：$(A+B)C=AC+BC$
2. 张量的结合律：$(AB)C=A(BC)$
3. 不满足交换律：$AB\ne BA$

张量缩并

任一 $n$ 阶张量（$n\ge 2$），有 $n$ 个自由下标，令其中两个下标相同从而进行约定求和，其余自由下标保持不变，称为张量的缩并。该操作可以将原张量的阶数降低2阶，产生一个 $n-2$ 阶的张量。

例如二阶张量${\sigma }_{ij}\to {\sigma }_{ii}={\sigma }_{11}+{\sigma }_{22}+{\sigma }_{33}$，可以看出该二阶张量缩并后成为一个0阶张量（标量）；对于三阶张量进行缩并$A_{ijk}\to A_{ijj}=A_{i11}+A_{i22}+A_{i33}$，可以看出三阶张量缩并后成为了1阶张量。

张量的内积（点乘）

对张量 $A$ 和 $B$ 的乘积进行一次缩并运算，其中参与缩并的两个下标为前一个张量的最后一个下标与最后一个张量的第一个下标，这种操作称为张量的内积，记为 $A\cdot B$ 。下面我们对不同阶张量的内积进行讨论:

• 两个一阶张量 $A=A_i$ ，$B=B_j$，则 $A\cdot B=A_i{B}_i$ 结果为标量。
• 两个二阶张量 $A=A_{ij}$，$B=B_{kl}$ ，则 $A\cdot B=A_{ik}{B}_{kl}$ ，结果仍然是一个二阶张量。此时张量点乘实际上就是矩阵的乘法。

那么，此时二阶及以上的张量内积显然不符合交换律，但是对于两个一阶张量而言，是符合交换律的。

张量的对称与反对称

• 张量的转置：调换张量的两个下标的顺序的操作称为张量的转置；

• 张量的对称：转置张量与原张量相等，则称该张量关于这两个下标对称，例如四阶弹性系数张量 $C_{ijkl}=C_{jikl}$ ，则称该张量对于第一与第二下标对称。

• 张量的反对称：转置张量与原张量相反，则称为该张量对于这两个下标反对称；

• 对称张量：如果张量对于任意两个下标都对称，则该张量称为对称张量；

• 反对称张量：如果张量对于任意两个下标都反对称，则该张量称为反对称张量；

那么我们有重要的性质：对于任意一个二阶张量 $A_{ij}$ ，总可以将 $A_{ij}$ 分解为一个对称张量与一个反对称张量之和：

$$A_{ij}=\frac{1}{2}(A_{ij}+A_{ji})+\frac{1}{2}(A_{ij}-A_{ji})$$

其中，$\frac{1}{2}(A_{ij}+A_{ji})$ 为对称张量，而 $\frac{1}{2}(A_{ij}-A_{ji})$ 为反对称张量。